En fait, comme je viens d'écrire a mouton, je viens de me rendre compte que je peux au moins démontrer que pour n=3 et m supérieur ou égal a 9, aucune grille ne marche.
Karmina dit dans son message que c'est évident, mais ça n'a rien d'évident pour tout a chacun, et ça demande je crois une petite explication. Je vais donc écrire la démonstration qui me semble la bonne. Celle ci étant faite non pas sur une valeur précise, mais comme une recherche de taille maximale de grille sans ligne répétitive, sous peine d'avoir par principe un rectangle et donc une grille invalide selon nos critères de recherche.

On pose comme base qu'une grille qui dispose de deux lignes identiques contient par définition un ou plusieurs rectangles.
Or, toute grille ne peut avoir qu'un nombre limité de lignes différentes puisque limité dans la taille par la valeur m, un nombre fini.
Donc, on cherche pour un n donné, le nombre de lignes différentes maximales, qui sera donc la limite de m au delà duquel un rectangle est forcément présent.

Sachant que n correspond au nombre de carré de la ligne.
Sachant qu'un carré ne peut avoir que deux valeurs: noir ou blanc.

On peut dire que chaque carré peut avoir deux valeurs, et donc, que pour N carré, on a 2 x 2 x ... 2 valeurs possibles et cela N fois, soit 2^n lignes possibles différentes.
Donc, une grille pour laquelle m>=2^n contient forcément un rectangle.

Et comme pour ma part, je ne vois pas ce qui nous permet de postuler que n>m (après tout il s'agit d'une grille de carrés, mais rien ne nous dit qu'elle doit disposer de plus de lignes que de colonnes), je dirais qu'une grille de n>=2^m donne également forcément un rectangle.

Pour une grille n=3, on obtient 2^3 soit 8, et on vois donc que pour m=9 ou m>9, un rectangle existe par définition, bien sur.

Et au passage, ces petites grilles de carrés noirs et blancs me font bien penser a des matrices de graphes pleines de 0 et de 1, sans que je sache trop pourquoi d'ailleurs...

La propriété "2 lignes identiques => rectangle" n'est vraie que s'il y a 3 colonnes ou plus"

Si une grille de taille nxm contient forcément un rectangle, toute grille de taille m×n en contient un aussi.
Si une grille de taille nxm contient forcément un rectangle, toute grille de taille n' × m' (n' ≥ n et m' ≥ m) contient un rectangle.

Toute grille de taille 3×9 contient un rectangle (tu l'as démontré), donc toute grille de taille supérieure aussi. Idem pour toute grille de taille 9×3 (ou plus).

Toute grille de taille 2×n ou n×2 peut ne pas contenir de rectangle. Les cas qu'il reste donc à chercher sont :
3×3
3×4
3×5
3×6
3×7
3×8
4×5
4×6
4×7
4×8
5×5
5×6
5×7
5×8
6×6
6×7
6×8
7×7
7×8
8×8

La propriété "2 lignes identiques => rectangle" n'est vraie que s'il y a 3 colonnes ou plus"

J'imagine donc que des configurations comme celles ci:

11
11

ou

11
00
01
11
10

avec 1 blanc ou noir, et 0 l'autre couleur, ne sont pas des configurations valides pour un rectangle, bien que je vois pas trop pourquoi, même si je pense que ça tiens a la définition du rectangle.

S'il y a deux colonnes, tu peux prendre ça par exemple :

10
10

Les deux lignes sont identiques mais il n'y a pas de rectangle. L'implication est fausse mais ça ne veut pas dire que si deux lignes sont identiques il n'y a pas de rectangle. Ca veut juste dire que cette donnée n'est pas suffisante.

Je dirais 20.

Pour chacune des 4 caractéristiques des cartes, on en interdit une possibilité.
Puis on considère l'ensemble formé par les cartes construites à partir des deux possibilités restantes, il y en a 2^4 = 16.

On est certain que cet ensemble ne comporte pas de set : il est impossible d'y faire des groupes avec 3 valeurs différentes pour une même caractéristique, donc un set serait composé de 3 fois la même carte, ce qui n'est pas possible.

Sans y aller à tatonnement, on peut voir une carte comme un élément de (Z/3Z)^4 si on veut montrer les choses mathématiquement.

Je dirais 20.