Ca marche quelque soit n > 1 .
Mathématiquement, on commence par n=2 ça se prouve en étudiant le groupe fondamental (
l'ensemble des classes d'homotopie des lacets du plan) du plan privé de deux points, qui n'est pas commutatif. Si
a et
b sont deux générateurs de ce groupe (correspondants chacun à faire un tour autour d'un clou,
a autour du premier clou dans le sens indirect et
b autour du deuxième clou dans le même sens, par exemple),
a*b*a^(-1)*b^(-1) revient par exemple à relier faire passer la ficelle de gauche dans un sens autour du premier clou, dans le même sens autour du deuxième, puis dans le sens contraire autour du premier clou puis dans le sens contraire autour du deuxième clou. En fait, cette formule est directement reliée au chemin à faire faire à la ficelle qui tient les tableaux.
Retirer un clou revient à prendre pour
a ou
b l'élément neutre
e du groupe. Si on retire un des clous (
a=e ou
b=e), on a bien
a*b*a^(-1)*b^(-1) qui vaut
e, donc le tableau tombe.
Pour généraliser à n noeuds, on le fait par récurrence.Si F est une formule (la même que
a*b*a^(-1)*b^(-1)) qui correspond au chemin à faire avec la corde pour n clous, et si p est le générateur du plan privé de (n+1) points associé au clou que l'on a rajouté, il faut faire à la corde le chemin
G = F*p*F^(-1)*p^(-1). Et dans ce cas, si on retire un clou : soit c'est un clou apparaissant dans la formule F, donc par récurrence, on a bien
F=e et donc
G=e, si c'est p, on a aussi
G=e.
C'est vraiment pas clair, mais ça ressemble en rien à ce que j'ai déjà étudié en maths, donc j'espère que c'est compréhensible. Si tu peux l'expliquer plus clairement/rigoureusement Mouton, ça serait avec plaisir
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Elune, moutonologue