Petites enigmes

• Mouton

  Visiteur

  modifié 12/03/14 (09:26)

  +0 -0      

  Naiaphykit a écrit :
  
  > 100 ?
  
  Ce serait trop simple
  
  > Je ne sais pas ce que veut dire "polynôme unitaire de degré 9" mais bon ...
  
  Ça veut dire que la fonction P que tu cherches est de la forme P(X) = X^9 + a X^8 + b X^7 + c X^6 + d X^5 + e X^4 + f X^3 + g X^2 + h X + i
  
  où a,b,c,d,e,f,g,h, et i sont des constantes réelles.
  
  (degré 9 signifie que le premier terme est X^9, et unitaire signifie que le coefficient devant X^9 est forcément 1).
  
  --
  Mouton
• Zarine

  Membre

  modifié 12/03/14 (14:54)

  +0 -0      

  Sauf erreur de ma part :
  
  

  Spoiler

  1 * x9
  - 45 * x8
  + 870 *x7
  - 9450 * x6
  + 63273 * x5
  - 269325 * x4
  - 723680 *x3
  - 1172699 * x2
  + 1026576 *x
  - 362880

  
  
  Ca se fait assez bien sous excel
  
  Edit :
  

  Spoiler

  Oh et donc pour 10, ca fait...
  362980
  
  Si des gens veulent voir comment j'ai trouve avec excel :
  google doc tableur
  
  Il suffit de remplir, en partant de la puissance la plus haute vers la plus basse, la zone en jaune depuis la zone en violet.
  Si vous mettez pas "1" en puissance 9, vous trouverez facilement que la suite c'est x^2 en remplissant.
  
  La seule chose a respecter c'est de remplir a partir de la plus haute puissance (sinon en remontant les basses puissances changent).
  Si vous avez bien rempli, la "pyramide" doit etre pleine de 0
  

  
  ___
  
  Zarine
• Mouton

  Visiteur

  posté 12/03/14 (16:43)

  +0 -0      

  Elune Morningwood[62§o]Jumper a écrit :
  
  J'aurais dû préciser : j'ai posé la question à mon petit frère un jour. Il m'a donné la réponse 10 minutes plus tard, et on était dans la rue.
  
  Il n'y a besoin de rien pour exprimer la réponse, et l'explication tient en un bel argument mathématique. C'est ça que je recherche.
  
  --
  Mouton
• Zarine

  Membre

  modifié 12/03/14 (23:09)

  +0 -0      

  C'est pas drole de donner juste la reponse :
  
  

  Spoiler

  Comme l'a tres bien remarque Naiaphykit, ca semble etre x^2
  
  On a : P(x) - x^2 = 0 pour x = [1..9].
  Donc P(x) - x^2 peut s'ecrire : (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9) car il s'annule pour toute ces valeurs de x.
  
  On remplace donc x par 10 maintenant :
  P(10) - 100 = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
  P(10) = 9! + 100

  
  ___
  
  Zarine
• Mouton

  Visiteur

  posté 12/03/14 (17:37)

  +0 -0      

  Elune Morningwood[62§o]Jumper a écrit :
  
  Dans une copie, j'écrirais OUCH !
  
  --
  Mouton
• Karmina [62§o]

  Membre

  posté 12/03/14 (19:43)

  +0 -0      

  Spoiler

  Le polynôme P - X^2 s'annule sur [1..9] valeurs. Il est multiple de Q = (X-1)(X-2)(X-3)(X-4)(X-5)(X-6)(X-7)(X-8)(X-9).
  
  Comme il est unitaire de degré Q, il vaut Q.
  Donc P = Q + X^2
  
  Donc P(10) = 9! + 100
  
  
  On pourrait aussi dire P-Q-X² est de degré inférieur ou égale à 8, nul sur 9 valeurs donc nul (Interpolation de Lagrange en somme).
• Mouton

  Visiteur

  posté 26/03/14 (09:17)

  +0 -0      

  On prend une grille de n×m carrés, chacun coloriés en noir et blanc.
  
  On dit qu'on a trouvé un "rectangle" si on trouve 4 carrés disposés en rectangle (avec possiblement de l'espace entre eux) coloriés avec la même couleur.
  
  On donne une grille sans rectangle. Que peuvent valoir m et n ?
  
  Des indications, que vous ne regarderez pas, bande de tricheurs !
  

  Spoiler

  
  1/ Montrer que n=2 marche toujours
  2/ Montrer que n=3 m ≥ 9 ne peut pas marcher.
  3/ Faire mieux.
  

  
  
  
  --
  Mouton
• Zarine

  Membre

  posté 26/03/14 (11:27)

  +0 -0      

  Mouton a écrit :
  
  Elle etait pas deja passe celle la (peut-etre avant la v6) ?

  
  ___
  
  Zarine
• Karmina [62§o]

  Membre

  posté 26/03/14 (13:26)

  +0 -0      

  Spoiler

  Soit n, m. On suppose dans la suite n <= m.
  
  Si une telle grille existe, c'est qu'en prenant deux lignes au pif dans la grille, ils n'ont pas deux cases de même couleur dans les deux même colonnes.
  
  Si on prend n=3, on regarde des lignes de 3 chiffres. Clairement m ne doit pas être plus grand que 8, sinon deux lignes sont identiques et comme ces deux lignes contiennent deux cases noires ou deux cases blanches, on exhibe un rectangle.
  Et si jamais on prend une grille plus grande, elle contient une sous-grille de taille 3*9 et ça ne marche pas.
  
  Cherchons la plus grande grille 3xM qui existe et telle qu'il n'y a pas de rectangle.
  
  Soit la première ligne est de la forme 111 soit de la forme 110 à permutation des cases près (ce qui ne change pas le problème), où 1 est une case blanche et 0 une case noire. Je vous épargne la recherche et les preuves qui suivent et on trouve cette grille maximale :
  
  110
  011
  001
  100
  101
  010
  
  
  n=2 : c'est possible : il suffit de prendre une ligne noire et une ligne blanche
  n=3 : c'est possible si m <= 6 avec la grille ci-dessus
  n=4 : possible avec m <= 6 :
  
  1100
  0110
  0011
  1001
  0101
  1010
  
  
  Conclusion :
  Possible si n=2, n=3,4 et m<=6
  
  J'ai juste pas prouvé formellement que ça marche (ou pas mais je pense pas) pour n=m=5 mais je verrai ça plus tard.
  
• Mouton

  Visiteur

  modifié 26/03/14 (13:51)

  +0 -0      

  Elune Morningwood[62§o]Jumper a écrit :
  
  > Elle etait pas deja passe celle la (peut-etre avant la v6) ?
  
  Si si, sans doute. Mais elle a sa place sur ce topic de toute façon alors…
  
  Au-dessus :
  
  On peut démontrer des choses un peu mieux, dans le même esprit que ta preuve 3×9.
  
  --
  Mouton