Petites enigmes > Réponse Sciences sujet

On numérote les tiroirs et les mathématiciens. Chaque mathématicien ouvre le tiroir correspondant à son propre numéro, et trouve un nom. Puis il ouvre le tiroir correspondant à ce nom, et continue le procédé. Au bout d'un moment, il reviendra nécessairement sur le tiroir de départ, et la question est seulement de savoir si c'est avant ou après avoir fait 50 essais.

Mathématiquement, cela revient à considérer ces numérotations comme une permutation, et à suivre un cycle de la décomposition en cycles disjoints de cette permutation - ce qui illustre le fait qu'on revient au point de départ, mais tu peux t'en convaincre sans utiliser cet argument. La question est donc uniquement de savoir combien de permutations de [1; 100] ont des cycles de longueur > 50 (auquel cas tout le monde meurt). Et cela peut s'exprimer avec une somme, et on peut démontrer que la proportion des permutations de [1; 2n] n'ayant pas de cycle de longueur > n tend vers 1-ln 2 ~ 0.3.

Intuitivement, si un mathématicien gagne avec cette recette, alors non seulement toutes les personnes sur son cycle gagnent aussi (et trouvent leur nom au bout d'exactement le même nombre de coups), mais cela "renforce" l'idée qu'il n'y a pas de long cycle dans la permutation. Par exemple, si les deux premiers trouvent leur nom au bout de 24 et 26 coups respectivement, alors tout le monde s'en sort obligatoirement. Il me semble que cette énigme était déjà dans le topic ailleurs, c'est une "classique" pour moi.

Dans le cas de 4 personnes / 2 tirois, si les deux premières personnes ont trouvé leur nom, alors forcément tout le monde va gagner ensuite. Tu peux faire un calcul exact de la proba en comptant, sur les 24 permutations, lesquelles sont un cycle de longueur 4 (il y en a 6) et lesquelles ont un cycle de longueur 3 (il y en a 4×2). Tu gagnes donc avec proba 10/24 = 5/12.