Déjà j'ai l'impression que je me suis planté : quelle que soit la façon dont on a obtenu l'info sur le sexe du premier enfant, la proba que l'autre soit du même sexe est toujours entre 1/3 et 1/2.
En gros : vous faites un sondage "pensez à un couple d'amis qui ont deux enfants, dont une fille. L'autre enfant est-il une fille ?", vous êtes sensé obtenir 1/3 de réponses positive. Vous faites un sondage "pensez à une fille, qui a soit un frère soit une soeur. Est-ce qu'elle a une soeur ?", vous êtes sensé obtenir 1/2 de réponses positives. Sauf que ni dans un cas, ni dans l'autre, vous n'obtiendrez le résultat escompté (ne serait-ce que parce que certaines personnes vont répondre à l'autre question : il y a de très fortes chance que si vous posiez la première question à quelqu'un de 12 ans, il commence par penser à une de ses camarade de classe qui a un frère ou soeur, puis passe à ses parents en tant que le couple qui répond à la question, et réponde ainsi à la seconde question. Inversement, chez les gens plus âgés, certains vont répondre à la première question au lieu de la seconde...). Hourrah pour les proba qui ne représentent rien ! o/ Et c'est justement incroyablement difficile de faire un problème bien posé sur des probas qui ne représentent rien, mais qu'on veut quand même poser en terme humains (et pas juste sous la forme "on a 4 événements équiprobables, et leur proba sachant un autre événement est...")
Bref, en gros on a besoin de pF la proba que l'événement montrant que le pote a une fille se réalise, pG pareil pour un garçon, et pFF (la proba qu'il se réalise avec deux filles) et pGG. Dans le cas des chiottes, on a pF = 0 (en imaginant que je soit un garçon, donc j'ai pu rencontrer qu'un garçon dans les chiottes), pGG (la proba de rencontrer les deux garçons dans les chiottes) = pG^2 (on peut estimer une indépendance).
ça donne :
P(il a deux garçons | j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes) =
= P(il a deux garçons et j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)/P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)
= P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes | il a deux garçons)*P(il a deux garçons)/P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)
or:
$ P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes | il a deux garçons) = 2*pG - pGG
$ P(il a deux garçons) = 1/4
donc
P(il a deux garçons | j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes) = 1/4*(2*pG - pGG)/P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)
et de la même façon :
P(il a un garçon et une fille | j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes) =
= 1/2*pG/P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)
On pourrait croire qu'on est bloqué parce qu'on ne connait pas P(j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes), sauf qu'on s'en fout : on sait que la somme des deux probas fait 1, et leur division est désormais connue :
P(il a deux garçons | j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes)/P(il a un garçon et une fille | j'ai rencontré un enfant de mon pote aux chiottes) = 1 - 1/2*pGG/pG = 1-1/2*pG
Et on sait résoudre ce genre de système, si je me suis pas planté (et j'ai l'impression que si... ) ça donne un truc qui vaut 1/3 quand pG vaut 1 et qui approche 1/2 à mesure que pG approche 0 (en gros, si c'était sûr et certain que j'allais rencontrer un de leur fils s'ils en ont un, et que je l'ai effectivement rencontré, alors ils ont deux chance sur trois d'avoir une fille - je crois qu'elle est là, l'info gagnés : j'étais sûr de rencontrer leur fils s'ils en ont un).
Liz Euse a écrit :>
le raisonnement intuitif est ici bien plus efficient
> C'est-à-dire?
>
> Quelle est selon toi la réponse à donner, et en quoi est-elle plus efficiente?
Bah justement, le problème est "comment ai-je appris qu'ils ont une fille née un mercredi, et est-ce que ça me donne une inf de façon plus ou moins indirecte ?"
Si le mec te dit "j'ai deux enfant. L'une est une fille née un mercredi", alors tu n'as aucune info : il a deux enfant, il en a choisit un pour te donner des infos dessus, ça ne donne pas d'info sur le second. Tu peux réfléchir en d'autres termes : je te dis ça, à ce stade je te propose de miser 2 euros, tu en gagnes 1.5 (et reprends ta mise) si mon deuxième enfant est un garçon, sinon je garde tes deux euros. Si tu estime ta proba de gagner à 2/3, alors tu devrais jouer (espérance de gain : 2/3*1.5 -2*3 >0) (parce que c'est sensé être ça, des probas dans un tel contexte : une façon de calculer ton gains si tu répètes ce jeu avec plein de gens) (et oui, c'est bien beau de faire des problèmes de proba en termes humains plutôt qu'en logique formelle, mais alors faudrait veiller à ce qu'on pense à les appliquer dans ce à quoi quoi elles servent quand on les exprime ainsi : évaluer des espérances de gains, entre autre). Est-ce que tu joues, ou est-ce que tu estimes que tu n'as aucune info sur le second enfant et que donc ta chance de gagner est 1/2 ?
A l'inverse, si j'apprend par hasard que tu as une fille et qu'elle vérifie un événement particulièrement improbable ("OK, juste une seule question : est-ce que tu as une fille né le 29 février ? - ça alors, oui !"), alors j'ai la sensation que cet événement improbable avait bien plus de chances de se réaliser si tu as deux filles plutôt qu'une fille et un garçon, et que je peux donc miser sur deux filles... Sauf que mes calculs ont pas l'air de montrer ça :/ . Mais bref, dans ce genre de cas, oui il y a une altération des probas, parce que le fait de découvrir un truc improbable par hasard (en gros, de réaliser un autre événement aléatoire) altère les probas.
Mais bref, le raisonnement intuitif commence par se demander "qu'est-ce que j'ai appris comme nouvelle info ?", et de ne se lancer dans les calculs que si on pense avoir une nouvelle info, ou a minima si on n'est pas sûr. Si la réponse est "aucune nouvelle info", on répond "1/2" sans calcul, jusqu'à ce que quelqu'un nous "montre" le contraire, auquel cas on y regarde sa démonstration (et soit on y trouve une erreur, soit on y trouve une hypothèse implicite qui permet d'ajouter effectivement de l'info, soit on y trouve l'info qu'on avait loupé - c'est exactement comme ça que fonctionne le Monthy Hall, en déroulant la démo on y trouve que le présentateur a révélé une info qu'il avait, et ensuite soit on se rend compte l'énoncé était clair, soit que c'est une hypothèse implicite prise dans la démo sans qu'elle soit dans la formulation. Et le problème des deux enfants, comme en général la façon dont a été trouvée l'info du jour de naissance ou autre n'est pas révélée dans l'énoncé, "1/2" est toujours une réponse valable : on peut partir du principe qu'on a juste quelqu'un qui a pris un de ses enfants au hasard pour donner des infos dessus, ça ne dit rien sur le second).
1-1/2*p
c'est manifestement entre 1/2 et 1 et, enfin, on se rappelle que la somme de ces deux nombre vaut 1.
1/2 < x/y = 1-1/2*p < 1
x+y = 1
1/2 < x/(1-x) < 1
1/2 - 1/2*x < x < 1 - x
1/2 - 1/2*x < x < 1 - x
3/2*x > 1/2
2*x < 1
1/3 < x < 1/2
