Petites enigmes > Réponse Sciences sujet

Liz Euse a écrit :

En fait, la réponse est bien 1/2, et il y a une erreur dans ton raisonnement. Mais la raison pour laquelle je pose la question, c'est qu'on voit très souvent ce raisonnement erroné (y compris de la part de collègues profs de maths). Et accessoirement, ça a créé un peu de drama pendant notre repas de Noël familial.

Le début est juste : il y a 4 situations équiprobables : FF, FG, GF, et GG. Mais ensuite, tu ne sais pas uniquement qu'il y a au moins une fille. Tu sais que c'est une fille qui t'ouvre la porte. On peut donc prolonger la situation :

FF => si un enfant ouvre, c'est forcément une fille.
FG => une chance sur deux que ce soit une fille ou un garçon qui ouvre
GF => idem
GG => forcément un garçon

Autrement dit, si on note FO (une fille ouvre la porte) et GO (un garçon ouvre la porte), l'arbre ressemble à :

FF [1/4] 
 => FO [1]
FG [1/4]
 => FO [1/2]
 => GO [1/2]
GF [1/4]
 => FO [1/2]
 => GO [1/2]
GG [1/4]
 => GO [1]

Au final, la probabilité qu'une fille ouvre est de 1/2, et la probabilité de FF sachant FO est de 1/2 (25% / 50%).

Note que si on suppose que c'est toujours l'aîné qui ouvre, la proba reste 1/2 avec l'arbre :

FF [1/4] 
 => FO [1]
FG [1/4]
 => FO [1]
GF [1/4]
 => GO [1]
GG [1/4]
 => GO [1]

On atteint une proba 1/3 si on suppose que dans une famille fille/garçon, c'est forcément une fille qui ouvre la porte. Ou si on sait seulement que la personne a une fille sans rien qui permette de la distinguer (ici, ce qui la distingue, c'est d'ouvrir la porte).

De manière amusante, on peut créer des distinctions partielles. Ainsi, si l'énoncé était "la personne a une fille née dans la première moitié de l'année, quelle est la proba que l'autre enfant soit une fille ?", alors la réponse n'est ni 1/2 ni 1/3.


Et c'est là que les gobelins reviennent parce que :
=> la proba que l'autre enfant soit une fille sachant qu'on a une fille née au premier semestre est de 3/7
=> la proba que l'autre enfant soit une fille sachant qu'on a une fille née au deuxième semestre est de 3/7
=> Mais la proba que l'autre enfant soit une fille sachant qu'on a une fille dont on ne connait pas le semestre de naissance est de 1/3

En exercice : en supposant équirépartition des jours de naissance, calculer la proba que l'autre enfant soit une fille sachant qu'on a une fille née un mercredi.