Petites enigmes > Réponse Sciences sujet

Ce qui me permet de parler d'une "règle du pouce" (rule of thumb, je ne sais pas comment on traduit ça) très utile dans tous les jeux où l'on doit lancer un pool de dés et chaque dé peut obtenir un succès : si on a n événement aléatoires indépendants avec chacun une probabilité 1/n de réussite, alors pour n "assez grand" on a à peu près 1 chance sur trois de n'avoir aucun succès, une chance sur trois d'en avoir exactement 1, et une chance sur 3 d'en avoir 2 ou plus.

Démonstration : la chance de n'avoir aucun succès est : (1-1/n)^n = e^(n ln(1-1/n)) ; lorsque n tend vers l'infini, n ln(1-1/n) tend vers -1, donc cette probabilité tend vers 1/e (et e vaut, à la grosse louche, 3) (1/3 ~ 33%, 1/e ~ 37%. Autant, une différence de 4% est très facilement mesurable via des outils statistiques et produit des effets mesurable, autant je doute qu'un humain jouant à un jeu soit susceptible de percevoir la différence entre un événement à 33% et un événement à 37%).

De même, la chance d'avoir exactement 1 succès est n*(1/n*(1-1/n)^(n-1)) = e^((n-1) ln(1-1/n)), qui tend aussi vers 1/e lorsque n tend vers l'infini.

... Donc j'ai une stratégies compliquée (et sujette à l'erreur) avec 100% de chance de succès (sans compter les chances d'erreur) et une stratégie simple avec ~66% de chances de succès. Existe-t-il des stratégies relativement simples qui ont plus de 66% de chance de succès ?

On va poser une fonction P : N -> [0,1] qui, à la complexité du calcul que doit effectuer chaque prisonnier (en gros, le nombre d'opérations qu'ils doivent faire... Sachant qu'en vrai, une soustraction a plus de complexité qu'une addition, et une division a largement plus de complexité), associe la probabilité qu'il se plante. Lorsqu'il se plante, on suppose que le résultat final qu'il donne a une loi uniforme sur [1,100] - il est même possible qu'il donne le résultat qu'il devait donner.

A partir de cette ceci, il doit être possible de définir, pour une stratégie de complexité n donnée avec un taux de réussite de Q, la probabilité que quelqu'un donne la bonne réponse - que ce soit, quelqu'un qui ne s'est pas trompé et était celui donné gagnant par la stratégie, ou quelqu'un qui s'est planté mais qui a par chance donné ainsi le bon résultat. Et donc, finalement, de maximiser la probabilité de gagner.

Quelqu'un pour formaliser tout ça de façon plus propre que moi, et donner les éléments que l'on peut déjà calculer sans avoir à définir plus précisément la fonction P ? Un neurobiologiste pour donner la forme que devrait avoir P ? Un logicien pour dire que le problème que je pose n'est pas formalisable proprement pour une raison que j'ignore ?